項が4つ以上ある一般的な3次式（例：$x^3 - 4x^2 + x + 6$ など）に対しては、前述の2項公式は歯が立ちません。ここで威力を発揮するのが、数学Ⅱで学習する強力な兵器因数定理と組み立て除法を用いた3次式因数分解裏ワザです。この手法は、そのまま3次方程式の解き方の核となります。
ステップ1：代入して0になる値を見つける（因数定理）
多項式 $P(x)$ において、$P(\alpha) = 0$ となる $\alpha$ を見つけることができれば、$P(x)$ は必ず $(x - \alpha)$ を因数に持ちます。
この「$\alpha$ の候補」を探す際には、完全な当てずっぽうではなく以下の数学的原則を用います。
【候補値の絞り込み公式】：
$\alpha = \pm \frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$
例えば $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ の場合、最高次の係数は1、定数項は6です。したがって候補は $\pm (1, 2, 3, 6)$ に限定されます。
実際に代入を試みると、
$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$
これにより、与式は確実に $(x - (-1)) = (x + 1)$ で割り切れることが確定します。
ステップ2：組み立て除法で一瞬で商を割り出す
通常の筆算（多項式の割り算）を行うと計算スペースを消費し、符号の引き算ミスが多発します。そこで組み立て除法を活用します。
係数のみを並べ、見つけた $\alpha = -1$ を左に配置して計算を実行します。
-1 │ 1 -4 1 6 │ -1 5 -6 ───┼─────────────────── 1 -5 6 0 ←（余り0）
最下段に現れた「1, -5, 6」が商の係数、すなわち $(x^2 - 5x + 6)$ を表しています。通常の筆算に比べて所要時間は約3分の1、計算ミス発生率も大幅に削減されます。
最後にこの商の2次式を中学レベルのたすき掛けで因数分解します。
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
したがって、最終的な因数分解の結果は以下の通り導かれます。
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = \mathbf{(x + 1)(x - 2)(x - 3)}$
この一連のアルゴリズムを体得しておけば、どのような高次式が出現してもパニックに陥ることなく機械的な処理で正解へ辿り着くことが可能になります。
