円の接線を扱う上で、すべての土台となるのが「円周上の接点」が指定されている場合の公式です。原点を中心とする半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、以下のシンプルな形で表されます。
$$\boldsymbol{x_1x + y_1y = r^2}$$
この美しい数式がなぜ成り立つのか、円の接線の方程式の証明を理解しておくと、公式を忘れた際にも自力で導出できます。証明のアプローチにはいくつかありますが、最も明快なのは「半径と接線は直交する」という幾何学的性質を用いる方法です。
接点 $P(x_1, y_1)$ が座標軸上にないとき、原点 $O(0, 0)$ と $P$ を結ぶ線分 $OP$ の傾きは $\frac{y_1}{x_1}$ です。接線はこの線分 $OP$ と直交するため、求める接線の傾きは相互関係より $-\frac{x_1}{y_1}$ と決まります。点 $P$ を通り傾きが $-\frac{x_1}{y_1}$ である直線の方程式を立てると、
$$y - y_1 = -\frac{x_1}{y_1}(x - x_1)$$
両辺に $y_1$ を掛けて整理すると $x_1x + y_1y = x_1^2 + y_1^2$ となります。ここで点 $P(x_1, y_1)$ は円周上の点であるため、$x_1^2 + y_1^2 = r^2$ が成立します。これを代入することで、見事に $x_1x + y_1y = r^2$ が導かれます。接点が座標軸上にある場合（$x_1=0$ または $y_1=0$）もこの式はそのまま成立します。
中心が原点ではなく点 $(a, b)$ に平行移動した円 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線も同様で、$(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$ と表せます。2乗のパーツのうち「片方に接点座標を代入する」という視覚的イメージを持つと記憶が定着しやすくなります。
