教科書の発展事項や難関大学の誘導問題で突如として出題され、受験生をパニックに陥れるのが三角関数の合成cosへの変形です。多くの問題集が $\sin$ への合成ばかりを反復練習させるため、「$\cos$ で合成せよ」と指定された途端にペンが止まってしまう学習者が後を絶ちません。
しかし、これも加法定理の構造を理解していれば何も恐れることはありません。目標とするのは $\cos$ の加法定理です。
$\cos(\theta - \beta) = \cos\theta\cos\beta + \sin\theta\sin\beta$
式を見比べると、今度は「$\cos\theta$ の前に $\cos\beta$」「$\sin\theta$ の前に $\sin\beta$」が掛け合わされていることがわかります。したがって、与式 $a\sin\theta + b\cos\theta$ を並び替えて $b\cos\theta + a\sin\theta$ と置き、$\sqrt{a^2 + b^2}$ でくくったとき、今度は $\cos\theta$ の係数 $b$ が $x$ 座標、$\sin\theta$ の係数 $a$ が $y$ 座標に対応します。
すなわち、$\cos$ 型に合成する場合は、座標平面上に打つべき点が $\mathrm{Q}(b, a)$ へと入れ替わるのです。動径 $\mathrm{OQ}$ のなす角を $\beta$ と置けば、以下の通り綺麗にまとまります。
$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(\theta - \beta)$
$\left(\text{ただし、}\cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$
物理学における単振動の解析や電気回路の交流理論では、基準を $\cos$（余弦波）で統一したほうが微分積分の計算効率が良いケースが多々あります。京都大学や東京工業大学（現・東京科学大学）をはじめとする難関理系学部で $\cos$ 合成が出題されるのは、単なる重箱の隅突きではなく、将来の大学数学・物理への接続性を見据えた試金石だからです。
【プロの結論】おすすめできる学習アプローチ・慎重になるべき人の判断基準
三角関数の合成を単なる受験テクニックで終わらせるか、盤石な数学的思考力へ昇華させられるかは、日々の学習姿勢に依存します。指導実績を持つプロの視点から、推奨する勉強法と注意すべき陥穽を明示します。
✔ 合成を得点源にできる人（推奨する学習姿勢）：
・公式を文字の羅列として暗記せず、加法定理を頭の中で逆再生しながら立式している。
・どんな簡単な問題でも、ノートの片隅に小さな座標軸を描き、点 $(a, b)$ をプロットして三角形を視覚化する。
・最大最小を解く際、必ず「角度全体の変域」を単位円上に帯状に描いて確認する。
✖ 本番で痛恨の失点を犯しやすい人（避けるべき危険な学習姿勢）：
・「$r = \sqrt{a^2+b^2}$」「$\alpha$ は適当に勘で当てはめる」といった雑な解法を定着させている。
・負の符号が出てきたときに、なぜその角度になるのかを図形的に確認せず、解答の符号だけを丸暗記しようとする。
・$\theta$ の定義域が付いているのに、条件反射で最大値を $\sqrt{a^2+b^2}$、最小値を $-\sqrt{a^2+b^2}$ と書いてしまう。
