平行四辺形の内部構造を解析する上で、角度と対角線の関係性は避けて通れません。平行四辺形 角度の求め方の基本原則はシンプルです。「向かい合う角（対角）は等しい」および「隣り合う2つの角の和は常に180度になる（錯角と同位角の性質）」という2点さえ押さえれば、1つの内角が判明した瞬間、残り3つの角度が自動的に確定します。
しかし、難関高校や大学受験で差がつくのは平行四辺形の対角線の長さを素早く算出するアルゴリズムです。2本の対角線の長さを求める際、通常は三平方の定理を用いて連立方程式を立てるため、膨大な計算時間と計算ミスを誘発します。これを劇的に短縮するのが「中線定理（パップスの定理）」と「余弦定理」です。
平行四辺形の2辺の長さを $a$、$b$、2本の対角線の長さを $x$、$y$ と置いた場合、対角線の交点が中点になる性質を利用すると、以下の美しい恒等式が成立します。
$x^2 + y^2 = 2(a^2 + b^2)$
すなわち、「2本の対角線の2乗の和は、隣り合う2辺の2乗の和の2倍（4辺の2乗の総和）に等しい」という法則です。この定理を知っていれば、一方の対角線と2辺の長さが与えられた際、わずか2行の代数計算で未知の対角線を特定できます。
さらに、隣り合う2辺の長さ $a$, $b$ とその間の角 $\theta$ が分かっている場合、平行四辺形 三角比 sin を用いた面積公式 $S = ab \sin\theta$ が極めて有効です。三角形の面積公式 $\frac{1}{2}ab \sin\theta$ を2倍したものに過ぎませんが、高さを明示的に求める補助線を引くステップを完全に省略できるため、共通テストをはじめとする時間制限の厳しい試験において決定的な武器となります。
