定理を机上の空論で終わらせず、得点力へ昇華させるために、頻出の典型問題を解いてみましょう。
【実践問題】基本の線分比を求める
【問題】
$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $R$、辺 $AC$ を $3 : 2$ に内分する点を $Q$ とする。線分 $BQ$ と線分 $CR$ の交点を $P$ とし、直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分比 $BD : DC$ および $AP : PD$ を求めよ。
【解答ステップ】
ステップ1：チェバの定理で $BD : DC$ を求める
3本の直線 $AD, BQ, CR$ が点 $P$ で交わっているため、チェバの定理を適用します。
$\frac{AR}{RB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$
条件数値を代入：
$\frac{2}{1} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{2}{3} = 1$
$\frac{BD}{DC} \times \frac{4}{3} = 1 \implies \frac{BD}{DC} = \frac{3}{4}$
したがって、$BD : DC = 3 : 4$
ステップ2：メネラウスの定理で $AP : PD$ を求める
ここで求める比 $AP : PD$ を含む「$\triangle ABD$」に注目し、それを切断する直線「$CR$（直線 $CRP$）」にメネラウスの定理を適用します。
キツネの耳を $A, B$、鼻先を直線 $BC$ 上の点 $C$ と見立てます。
頂点 $A$ からスタート：
$\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DP}{PA} = 1$
ここで注意すべきは $\frac{BC}{CD}$ です。$BD:DC = 3:4$ であるため、$BC = 3 + 4 = 7$、したがって $BC:CD = 7:4$ となります。
数値を代入：
$\frac{2}{1} \times \frac{7}{4} \times \frac{DP}{PA} = 1$
$\frac{7}{2} \times \frac{DP}{PA} = 1 \implies \frac{DP}{PA} = \frac{2}{7}$
したがって、$AP : PD = 7 : 2$
【共通テストの裏技】ベクトル問題を秒殺する初等幾何ルート
大学入学共通テストの数学II・B・C（旧数学B）で出題される「平面ベクトル」の大問では、交点の位置ベクトル $\vec{OP}$ を求める問題が頻出します。多くの受験生が未知数 $s, t$ を置いて連立方程式を解きますが、これには通常2分〜3分の計算時間を要します。
しかし、上記の通り「チェバで底辺比を出し、メネラウスで内分比を出す」という初等幾何ルートを使えば、暗算レベルの計算わずか20秒で内分比 $AP : PD = 7 : 2$ が確定します。あとは内分点の公式に数値を放り込むだけで、計算ミスのリスクを完全に排除しながら大問の前半を突破できます。これこそが、上位合格者が実践している強力なタイムハックです。
