共通テスト物理では、公式への単なる数値代入ではなく、物理現象をモデル化して論理的に考察する能力が重視されます。典型例である「円錐振り子」を題材に、2つの視点からのアプローチを確認します。
【例題】
長さ$L$［m］の軽くて伸びない糸の一端を天井の点Oに固定し、他端に質量$m$［kg］の小球を取り付ける。糸が鉛直方向と角$\theta$を保ったまま、小球が水平面内で等速円運動をしている。重力加速度の大きさを$g$［m/s$^2$］とする。
（1）小球が描く水平円軌道の半径$r$を求めよ。
（2）糸が小球を引く張力の大きさ$S$を求めよ。
（3）小球の回転の角速度$\omega$を求めよ。
【解説と解答ステップ】
幾何学的な関係から、円運動の半径は直角三角形に着目すると即座に決まります。
（1）の解答： $r = L \sin\theta$
次に、小球に作用している実在する力を正確にリストアップします。小球に触れているのは糸だけであるため、働く外力は「重力 $mg$（鉛直下向き）」と「糸の張力 $S$（糸に沿って斜め上向き）」の2つしかありません。張力$S$を鉛直方向と水平方向に成分分解すると、鉛直成分は $S \cos\theta$、水平成分（円の中心向き）は $S \sin\theta$ となります。
鉛直方向には小球は一切移動しないため、力のつり合いが成立します。
$$S \cos\theta - mg = 0 \quad \Longrightarrow \quad S = \frac{mg}{\cos\theta}$$
（2）の解答： $S = \frac{mg}{\cos\theta}$
最後に（3）の角速度$\omega$の導出です。ここでは静止系（外から見る立場）と回転座標系（小球に乗る立場）の2通りで確認します。
［アプローチA：静止系（運動方程式）］
小球は中心向きに加速度 $a = r\omega^2$ で等速円運動をしています。この加速度を生み出している向心力は、張力の水平成分 $S \sin\theta$ です。水平方向の運動方程式を立式します。
$$m (L \sin\theta) \omega^2 = S \sin\theta$$
ここに（2）で求めた $S = \frac{mg}{\cos\theta}$ を代入します。
$$m L \sin\theta \cdot \omega^2 = \frac{mg}{\cos\theta} \sin\theta$$
両辺の $m \sin\theta$ を約分して整理すると、角速度が求まります。
$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L \cos\theta}}$$
［アプローチB：回転系（遠心力を用いたつり合い）］
小球とともに回る観測者から見ると、中心から外側へ向けて遠心力 $F_{\text{遠心}} = mr\omega^2 = m(L \sin\theta)\omega^2$ が働いて見えます。水平方向の力のつり合い式を立てます。
$$S \sin\theta - m (L \sin\theta) \omega^2 = 0$$
この式は、アプローチAの運動方程式において右辺を左辺に移項した形と全く同一です。
（3）の解答： $\omega = \sqrt{\frac{g}{L \cos\theta}}$
