公式を忘れてしまったとしても、自力で瞬時に作り出せる「証明と導出」のルートを知っておくことは大きな強みになります。3乗公式の展開は、基本的な多項式の掛け算から簡単に導出可能です。
$(a+b)^3$ は $(a+b)(a+b)^2$ と分解できるため、中学生で習った2乗公式を展開して掛け合わせます。
$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
同類項をまとめると、$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ が導かれます。
さらに、より高次な展開にも役立つ強力なツールが「パスカルの三角形」です。パスカルの三角形とは、両端に「1」を並べ、上にある隣り合う2つの数を足した結果を真下に配置していく数値配列のことです。
・0乗の係数：$1$
・1乗の係数：$1 \quad 1$
・2乗の係数：$1 \quad 2 \quad 1 \quad \rightarrow (a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2$
・3乗の係数：$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad \rightarrow (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$
文字の並びは「$a$の次数が3から1ずつ減り、$b$の次数が0から1ずつ増える」という規則性を持っています。そこにパスカルの三角形から得られる係数「$1, 3, 3, 1$」を掛けるだけで、$(a+b)^3$ の式は一切の暗記なしに導き出せます。
